Teorema del resto

Sea “a” un número y P un polinomio, entonces el valor numérico de P en “a” es igual al resto de dividir P por (x-a).
Aplicando el algoritmo de la división podemos escribir:

Donde Q es el cociente y R es el resto.
Consideremos el valor numérico del polinomio P en “a” tenemos:

Por ejemplo:

CUADRADO DE UN BINOMIO
El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.
Ejemplo:

CUBO DE UN BINOMIO
El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más el triple producto del primer término por el segundo término, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.
Ejemplo:

FACTOREO DE UN POLINOMIO
Factorear un polinomio P(x) de grado n, significa expresarlo como producto de una constante por uno o mas polinomios primos de coeficiente principal igual a 1.
Veamos a continuación algunos casos de factoreo:
Primer caso: Factor común. Extracción del factor común donde A, B y P son polinomios
Sea:

Ejemplo:
Segundo caso: Trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplo:
Tercer caso: Diferencia de cuadrados.
Ejemplo:
Cuarto caso: Divisibilidad de la suma o diferencia de polinomios de igual grados por la suma o diferencia de las bases.
Ejemplo:

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Factorizacion

Actividades para realizar con el Fragmento de: "0 Matematica:historias, curiosidades y algo mas"

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Multiplicación de Polinomios

Un fragmento de "Cero Matematica:historias, curiosidades y algo mas. Un programa que te puede interesar

Voz del Locutor: Sr.Cristian Eduardo Alvarez
Gracias por su Colaboracion y Ayuda,de parte de Diego, Juan y Rodrigo.

Regla de Ruffini

El cociente de la división entre un polinomio entero y completo en x, y otro de la forma (x-a), es un polinomio cuyo grado es inferior en una unidad al grado del polinomio dividendo y cuyos coeficientes se obtienen de la siguiente forma, una vez ordenado de acuerdo a las potencias decrecientes de x, el primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo. El segundo coeficiente del cociente se obtiene multiplicando al anterior por “a” cambiado de signo y sumando a este producto el coeficiente del segundo termino del dividendo y así sucesivamente hasta obtener el resto.
Ej.: Hagamos el esquema:

DIVISIBILIDAD
Sean P(x) y Q(x) polinomios, con Q(x) distinto de cero. En el caso particular en que el resto de la división de P(x) por Q(x) es cero, decimos que la división es exacta, o bien que Q(x) divide a P(x).
Decir que Q(x) divide a P(x) es decir que existe un polinomio (necesariamente único), tal que
P(x) = Q(x).T(x)
Al polinomio T(x) se lo suele expresar por:
Ejemplo:
VALOR NUMERICO DE UN POLINOMIO
Sea “a” un número y P(x) un polinomio de la forma: Se llama valuación o valor numérico de P en “a” al número que se obtiene reemplazando x por “a”, o sea:
RAIZ DE UN POLINOMIO Sea “a” un número real y P un polinomio decimos que “a” es raíz (o cero de P) si y solo si P(a) = 0

Ejemplo:

Operaciones con polinomios

Suma o adición: Para sumar dos o más polinomios, sumamos los coeficientes numéricos de los términos semejantes.
Ejemplo:

Resta: Para restar polinomios se restan los coeficientes de los términos semejantes:
Ejemplo:
Producto: Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva, que consiste en multiplicar cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo, para luego sumar los términos semejantes obtenidos.
Ejemplo:
PROPIEDADES DE LA SUMA Y EL PRODUCTO
Sean P(x), Q(x) y Z(x) polinomios, la suma y el producto gozan de las siguientes propiedades:

Cociente: Para hallar el cociente entre dos polinomios previamente ordenados de acuerdo a las potencias decrecientes de la variable, tanto el dividendo como el divisor. Obtenemos el primer termino del cociente al dividir el primer término del dividendo con el primer término del divisor. Se multiplicara por el divisor y restándose este producto del dividendo se obtendrá el primer resto parcial. Se repetirá el cálculo anterior dividiendo el primer término del resto por el primero del divisor, y así sucesivamente hasta obtener un resto de grado menor que el grado del divisor, donde se dará por finalizado la división.
Primeramente ordenamos los polinomios, tanto del dividendo como del divisor, de acuerdo a las potencias decrecientes de x, y operamos de la siguiente forma:

El cociente anterior puede ser expresado como:

Humor

Chiste

¿Qué es un oso polar?

Un oso rectangular, después de un cambio de coordenadas

Expresiones algebraicas

EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas son combinaciones de letras, números y signos de operaciones.
Ejemplos:

En estos ejemplos los números representados por cifras y/o letras están vinculados entre si por la operaciones de suma, multiplicación, división, potencia y radicación.

CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas pueden ser:
Enteras: Se llaman expresiones algebraicas enteras a aquellas que no contienen denominadores algebraicos.
Ejemplo:
Fraccionarias o Racionales: Son expresiones que si contienen denominadores.
Ejemplo:
Irracionales: Como por ejemplo:
Nos ocuparemos de las expresiones algebraicas enteras con una sola letra (o variable), que reciben el nombre de polinomios o funciones polinómicas.

FUNCIONES POLINOMICAS.
Llamaremos funciones polinómicas en una variable a expresiones de la forma:

Donde los coeficientes son números reales y los exponentes de la variable x, n, n-1,n-2, …, 1 son números enteros positivos.
Las expresiones:

son funciones polinómicas, pues los coeficientes son números reales y los exponentes son enteros positivos.
Las expresiones
no son funciones polinómicas, porque en el primer caso un exponente es negativo y en el segundo caso el exponente es un número racional.

GRADO DE UN POLINÓMIO
Se llama grado de un polinomio al mayor entero positivo al que está elevada la variable en cualquiera de sus términos
Por ejemplo:
TERMINOS SEMEJANTES
Dos términos son semejantes si la variable, en ambos términos, tienen el mismo exponente.
Por ejemplo:
IGUALDAD DE POLINOMIO
Dos polinomios son iguales si y solo si tiene los mismo coeficientes numéricos en los términos semejantes.
Por ejemplo:

Un poco de historia

Hace unos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la solución positiva de ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas de la forma

Después de un siglo de expansión, en la que la religión musulmana se difundió desde sus orígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde la península Ibérica hasta los límites de la actual China, los árabes empezaron a incorporar a su propia ciencia los resultados de "ciencias extranjeras". Los traductores de instituciones como la casa de la sabiduría de Bagdad, escribieron versiones árabes de los trabajos de matemáticos griegos e indios.
Hacia el año 900, los estudiosos musulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos, entre otros avances, ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales. En el siglo XII, el matemático persa Omar Jayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior. El matemático árabe Al-Jwârizmî desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi la completó para polinomios incluso con infinito número de términos.
Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través del tiempo hasta encontrar la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado, es decir, una ecuación de la forma

En tanto que la fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación de tercer grado (o ecuación cúbica) no se encontró sino hasta el siglo XVI en Italia.
Una ecuación cúbica es de la forma

Donde a, b, c y d son números cualquiera, y con “a” distinto de cero.
Por muchos años, antes del siglo XVI, los matemáticos intentaron encontrar la fórmula que sirviera para determinar las soluciones de cualquier ecuación cúbica, sin lograrlo. Sin embargo la gran proeza de descubrir la fórmula, fue realizada por el matemático italiano Scipione del Ferro, en primer lugar, y más adelante por Nicoló Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin conocer el trabajo de Scipione del Ferro.
Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de "fórmula de Cardano", porque otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien estudió cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, luego fue quien publicó la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones titulado "Ars Magna".
El episodio completo fue más bien trágico para sus protagonistas. En aquellos tiempos, cuando un matemático descubría algo importante, trataba de guardarlo en secreto, para poder enfrentarse en "duelos matemáticos" con otros, y vencer.
Resulta que estos duelos eran una especie de torneo o debate público, en el cual dos matemáticos se retaban mutuamente a resolver problemas planteados por ellos. Se proponían los problemas y se efectuaba el duelo unos 15 días después. Asistía el público y también las autoridades locales, y el perdedor en un duelo de estos podía llegar a perder hasta su empleo en una importante Universidad, como consecuencia del desprestigio.
El caso fue que Scipione del Ferro guardó su secreto hasta poco antes de su muerte, cuando decidió revelarlo a dos discípulos suyos: Annibale della Nave y Antonio María Fiore. Este último decidió retar a Tartaglia, quien era profesor de Matemáticas en Venecia, para un duelo. Le propuso 30 problemas, los cuales requerían de la solución de ecuaciones cúbicas. Tartaglia propuso a Fiore otros problemas variados y se dedicó por 15 días a trabajar sobre la ecuación de tercer grado hasta lograr encontrar su solución. En el duelo, Tartaglia sorprendió a todos, pero sobre todo a Fiore, con sus soluciones a todos los problemas planteados. Fiore, por su parte, no pudo resolver casi nada de lo propuesto por Tartaglia, y fue declarado perdedor. A su vez, Tartaglia guardó celosamente el secreto de su descubrimiento, a pesar de que Girolamo Cardano, interesado en conocerlo, trató, durante 4 años, de acercarse a él para que compartiera su conocimiento de la solución a la ecuación cúbica.
Finalmente, logró Cardano su objetivo, jurando a Tartaglia solemnemente que jamás lo divulgaría. Pero 3 años más tarde, en 1542, Cardano logra obtener permiso para estudiar los escritos del difunto Ferro, y luego decide, en 1545, publicar la obra "Ars
Magna", que contenía, entre otros importantes descubrimientos matemáticos, la solución de la ecuación cúbica. Aunque, en su publicación, Cardano reconoce el mérito de Ferro y Tartaglia en ese descubrimiento, Tartaglia nunca lo perdonó por faltar a su juramento.
El desarrollo del Álgebra a través de la historia ha sido impulsado principalmente por el interés en resolver ecuaciones, ecuaciones de grado 1 (o lineal), cuadráticas o de grado 2, cúbicas o de cualquier grado.

Bienvenidos

Este espacio fue creado por:
Alarcón Diego,
Delgado Rodrigo,
Kampitakis Juan,

Alumnos de La Universidad Nacional de Salta, pensando que puede ser interesante y como una forma de acercarnos.
En cuanto al lenguaje intentamos utilizar uno sencillo, entendible para todos y con algunos ejemplo, links y diversas cosas relacionadas con el tema polinomios para empezar en un primer momento. Despues seguiremos con varios temas.
Como todo blog esperamos recibir sugerencias, que nos ayudaran a ir creciendo
Muchas gracias por acompañarnos en este viaje.
Esperamos disfrutarlo con todos ustedes.